Question

2．“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目．选手面对1～8号8扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．在一次场外调查中，发现参赛选手多数分为两个年龄段：20～30；30～40（单位：岁），其猜对歌曲名称与否的人数如图所示．
（1）写出2×2列联表；判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称是否与年龄有关；说明你的理由；（下面的临界值表供参考）
 

P（K2≥k0）	0.10	0.05	0.010	0.005
k0	2.706	3.841	6.635	7.879

（2）现计划在这次场外调查中按年龄段用分层抽样的方法选取6名选手，并抽取2名幸运选手，求2名幸运选手中在20～30岁之间的人数的分布列和数学期望．
（参考公式：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d为样本容量）

Answer 1

分析 （1）利用已知条件直接列出联列表，利用独立检验公式求出k，然后推出对歌曲名称与否和年龄有关判断．
（2）设2名选手中在20～30岁之间的人数为ξ，可能取值为0，1，2，20～30岁之间的人数是2人，求出概率，列出分布列，求解期望即可．

解答 解：（1）

年龄/正误	正确	错误	合计
20～30	10	30	40
30～40	10	70	80
合计	20	100	120

K²=$\frac{120（70×10-30×10）^{2}}{20×100×40×80}$=3＞2.706
有90%的把握认为猜对歌曲名称与否和年龄有关．
（2）设2名选手中在20～30岁之间的人数为ξ，可能取值为0，1，2，
20～30岁之间的人数是2人，
∴P（ξ=0）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{2}{5}$，P（ξ=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{8}{15}$，P（ξ=2）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{15}$，
∴ξ的分布列为

ξ	0	1	2
P	$\frac{2}{5}$	$\frac{8}{15}$	$\frac{1}{15}$

E（ξ）=0×$\frac{2}{5}$+1×$\frac{8}{15}$+2×$\frac{1}{15}$=$\frac{2}{3}$

点评 本题考查独立检验的应用，离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力．