Question

9．已知$\overrightarrow{a}$=（$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinx，2cosx），$\overrightarrow{b}$=（3，-$\frac{1}{2}$），x∈R．
（1）若f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，试求f（x）的值域；
（2）若x=$\frac{π}{3}$，且满足2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$与$λ\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$相互垂直，求λ的值．

Answer 1

分析 （1）根据向量数量积的坐标表示及辅助角公式，即可求得f（x）的解析式，由正弦函数性质即可求得f（x）的值域；
（2）当x=$\frac{π}{3}$，代入求得$\overrightarrow{a}$，根据向量的坐标运算分别求得2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$与$λ\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，利用向量垂直的定义，代入即可求得λ的值．

解答 解：（1）f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinx×3+2cosx×（-$\frac{1}{2}$）
=$\sqrt{3}$sinx-cosx，
=2sin（x-$\frac{π}{6}$），
由正弦函数的性质可知：-1≤sin（x-$\frac{π}{6}$）≤1，
∴-2≤sin（x-$\frac{π}{6}$）≤2，
f（x）的值域[-2，2]；
（2）当x=$\frac{π}{3}$，$\overrightarrow{a}$=（$\frac{1}{2}$，1），
∴2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=（-2，$\frac{5}{2}$）
$λ\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（$\frac{λ+6}{2}$，$\frac{2λ-1}{2}$），
∵（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）⊥（$λ\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$），
∴（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•（$λ\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=0，
$\frac{λ+6}{2}$×（-2）+$\frac{2λ-1}{2}$×$\frac{5}{2}$=0，
解得：λ=$\frac{29}{6}$，
λ的值$\frac{29}{6}$．

点评 本题考查向量数量积的坐标运算，三角恒等变换，向量垂直的定义，考查综合分析问题及解决问题的能力，属于中档题．