Question

8．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且过点B（0，-1）．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）直线l：y=k（x+2）交椭圆于P、Q两点，若$\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{BQ}$＜0，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意知$\left\{\begin{array}{l}b=1\\ e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}\\{a^2}={b^2}+{c^2}\end{array}\right.$，解出即可得出椭圆的标准方程．
（II）直线方程与椭圆方程联立可得：（1+4k²）x²+16k²x+（16k²-4）=0，利用平面向量数量积运算性质、一元二次方程的根与系数的关系即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由题意知$\left\{\begin{array}{l}b=1\\ e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}\\{a^2}={b^2}+{c^2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=1\\ c=\sqrt{3}\end{array}\right.$，
∴椭圆的标准方程为：$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
联立$\left\{{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{\frac{x^2}{4}+{y^2}=1}\end{array}}\right.$，消去y，得：（1+4k²）x²+16k²x+（16k²-4）=0，（*）
依题意：直线l：y=k（x+2）恒过点（-2，0），此点为椭圆的左顶点，
∴x₁=-2，y₁=0①，由（*）式，${x_1}+{x_2}=-\frac{{16{k^2}}}{{（1+4{k^2}）}}$，②
可得y₁+y₂=k（x₁+2）+k（x₂+2）=k（x₁+x₂）+4k，③
由①②③，${x_2}=\frac{{2-8{k^2}}}{{1+4{k^2}}}$，${y_2}=\frac{4k}{{1+4{k^2}}}$，
∵$\overrightarrow{BP}=（-2，1），\overrightarrow{BQ}=（{x_2}，{y_2}+1）$，
∴$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{BQ}=-2{x_2}+{y_2}+1＜0$．
即$\frac{{16{k^2}-4}}{{1+4{k^2}}}+\frac{4k}{{1+4{k^2}}}+1＜0$，
整理得20k²+4k-3＜0．
解得：$k∈（-\frac{1}{2}，\frac{3}{10}）$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、含参直线恒过定点、平面向量数量积、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．