Question

6．求y=（log${\;}_{\frac{1}{2}}$x）²-2log${\;}_{\frac{1}{2}}$x的单调区间．

Answer 1

分析 令t=log${\;}_{\frac{1}{2}}$x，可得y=t²-2t=（t-1）²-1．再利用对数函数、二次函数的单调性的性质，求得函数y的单调区间．

解答 解：令t=log${\;}_{\frac{1}{2}}$x，可得y=t²-2t=（t-1）²-1．
由于函数t在（0，+∞）上是减函数，关于t的二次函数y的图象的对称轴为t=1，
故在区间（0，$\frac{1}{2}$）上，t∈（1，+∞），函数y=（log${\;}_{\frac{1}{2}}$x）²-2log${\;}_{\frac{1}{2}}$x为减函数；
在[$\frac{1}{2}$，+∞），t∈（-∞，1]，函数y=（log${\;}_{\frac{1}{2}}$x）²-2log${\;}_{\frac{1}{2}}$x为增函数，
故函数y的减区间为（0，$\frac{1}{2}$），增区间为[$\frac{1}{2}$，+∞）．

点评 本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，属于中档题．