Question

5．已知cos（$\frac{π}{3}$+α）=$\frac{1}{3}$（0＜α＜$\frac{π}{2}$），则sin（π+α）=$\frac{\sqrt{3}-2\sqrt{2}}{6}$．

Answer 1

分析 由已知求出$\frac{π}{3}+α$的范围，进一步求得sin（$\frac{π}{3}$+α），则由sin（π+α）=-sinα=-sin[（$\frac{π}{3}+α$）$-\frac{π}{3}$]，展开两角差的正弦得答案．

解答 解：∵0＜α＜$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{3}+α$∈（$\frac{π}{3}，\frac{5π}{6}$），
又cos（$\frac{π}{3}$+α）=$\frac{1}{3}$，
∴sin（$\frac{π}{3}$+α）=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴sin（π+α）=-sinα=-sin[（$\frac{π}{3}+α$）$-\frac{π}{3}$]
=-sin（$\frac{π}{3}+α$）cos$\frac{π}{3}$+cos（$\frac{π}{3}+α$）sin$\frac{π}{3}$
=$-\frac{2\sqrt{2}}{3}×\frac{1}{2}$$+\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}-2\sqrt{2}}{6}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}-2\sqrt{2}}{6}$．

点评 本题考查三角函数的化简求值，关键是“拆角配角”思想的应用，是中档题．