Question

17．已知$f（x）=sin（{x+\frac{π}{2}}），g（x）=cos（{x-\frac{π}{2}}）$，则下列结论中正确的是（　　）

• A． 函数f（x）的图象向左平移π个单位长度可得到y=g（x）的函象
• B． 函数y=f（x）+g（x）的值域为[-2，2]
• C． 函数y=f（x）•g（x）在$[{0，\frac{π}{2}}]$上单调递增
• D． 函数y=f（x）-g（x）的图象关于点$（{\frac{π}{4}，0}）$对称

Answer 1

分析 利用诱导公式可求f（x）=cosx，g（x）=sinx，利用三角函数恒等变换公式，三角函数的图象和性质逐一分析各个选项即可得解．

解答 解：f（x）=sin（x+$\frac{π}{2}$）=cosx，g（x）=cos（x-$\frac{π}{2}$）=sinx，
对于A，f（x+π）=cos（x+π）=-cosx，错误；
对于B，y=f（x）+g（x）=cosx+sinx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，错误；
对于C，y=f（x）•g（x）=cosxsinx=$\frac{1}{2}$sin2x，令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
解得单调递增区间为：[kπ-$\frac{π}{4}$，kπ+$\frac{π}{4}$]，k∈Z，错误；
对于D，y=f（x）-g（x）=cosx-sinx=$\sqrt{2}$cos（x+$\frac{π}{4}$），令x+$\frac{π}{4}$=kπ，k∈Z，
解得x=kπ-$\frac{π}{4}$，k∈Z，当k=0时，x=$\frac{π}{4}$，故正确．
故选：D．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换，三角函数的图象和性质的合理运用，解题时要认真审题，注意诱导公式、三角函数恒等变换的合理运用，属于基础题．