Question

13．已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=$\frac{π}{2}$，DC=2AB=2BC=2$\sqrt{2}$，以直线AD为旋转轴旋转一周的都如图所示的几何体．
（1）求几何体的表面积；
（2）求几何体的体积．

Answer 1

分析 由已知通过求解三角形可得组合体的底面半径及母线长．
（1）由圆台上底面面积、侧面积、圆锥侧面积的和得答案；
（2）由圆台与圆锥的体积作和得答案．

解答 解：在梯形ABCD中，∵DC=2AB=2BC=2$\sqrt{2}$，
∴AB=BC=$\sqrt{2}$，又∠B=$\frac{π}{2}$，
∴AC=2，过A作AE⊥CD，垂足为E，则AE=ED=$\sqrt{2}$，得AD=2．
过B作DA延长线的垂线BF，垂足为F，可得AF=BF=1．
以直线AD为旋转轴旋转一周，所得几何体为一个圆锥和一个圆台的组合体．
（1）几何体的表面积为圆台上底面面积、侧面积、圆锥侧面积的和，
等于$π×{1}^{2}+\frac{1}{2}×（2π×1+2π×2）×\sqrt{2}+\frac{1}{2}$×$2π×2×2\sqrt{2}$=$7\sqrt{2}π+π$；
（2）几何体的体积为圆台与圆锥的体积和，
等于$\frac{1}{3}π×1×（{1}^{2}+1×2+{2}^{2}）+\frac{1}{3}π×{2}^{2}×2$=$\frac{15}{3}π=5π$．

点评 本题考查柱、锥、台体的表面积与体积，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．