Question

已知函数f（x）=

3

sin2x-2cos²x-1，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和最小值；
（Ⅱ）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=

3

，f（C）=0，sinB=2sinA，求a，b的值．

Answer 1

考点：余弦定理,两角和与差的正弦函数,三角函数的周期性及其求法

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）f（x）解析式利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式求出函数f（x）的最小正周期，利用正弦函数的值域确定出f（x）最小值即可；
（Ⅱ）由f（C）=0及第一问化简得到的解析式，求出C的度数，利用正弦定理化简sinB=2sinA，得到b=2a，利用余弦定理列出关系式，把c，b=2a，cosC的值代入即可求出a与b的值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=

3

sin2x-（cos2x+1）-1=

3

sin2x-cos2x-2=2sin（2x-

π

6

）-2，
∵ω=2，-1≤sin（2x-

π

6

）≤1，
∴f（x）的最小正周期T=π；最小值为-4；
（Ⅱ）∵f（C）=2sin（2C-

π

6

）-2=0，
∴sin（2C-

π

6

）=1，
∵C∈（0，π），∴2C-

π

6

∈（-

π

6

，

11π

6

），
∴2C-

π

6

=

π

2

，即C=

π

3

，
将sinB=2sinA，利用正弦定理化简得：b=2a，
由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=a²+4a²-2a²=3a²，
把c=

3

代入得：a=1，b=2．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．