Question

设函数f（x）=

sinx

2+cosx

．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）证明；当a≥

1

3

时，对任何x≥0，都有f（x）≤ax．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）先求出函数的导数，从而得出函数的单调区间；（Ⅱ）令g（x）=ax-f（x），求出g（x）的导数，故当a≥

1

3

时，g'（x）≥0，进而问题得证．

解答： 解（Ⅰ）f′(x)=

(2+cosx)cosx-sinx(-sinx)

(2+cosx)2

=

2cosx+1

(2+cosx)2

．
当2kπ-

2π

3

＜x＜2kπ+

2π

3

（k∈Z）时，cosx＞-

1

2

，即f'（x）＞0；
当2kπ+

2π

3

＜x＜2kπ+

4π

3

（k∈Z）时，cosx＜-

1

2

，即f'（x）＜0．
因此f（x）在每一个区间(2kπ-

2π

3

，2kπ+

2π

3

)（k∈Z）是增函数，
f（x）在每一个区间(2kπ+

2π

3

，2kπ+

4π

3

)（k∈Z）是减函数．
（Ⅱ）令g（x）=ax-f（x），
则g′(x)=a-

2cosx+1

(2+cosx)2

=a-

2

2+cosx

+

3

(2+cosx)2

=3(

1

2+cosx

-

1

3

)2+a-

1

3

．
故当a≥

1

3

时，g'（x）≥0．
又g（0）=0，所以当x≥0时，g（x）≥g（0）=0，
即f（x）≤ax．

点评：本题考查了函数的单调性，导数的应用，考查不等式的证明，是一道中档题．