Question

已知直平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的各条棱长均为3，∠BAD=60°长为2的线段MN的一个端点M在DD₁上运动，另一个端点N在底面ABCD上运动，则MN的中点P的轨迹（曲面）与共一顶点D的三个面所围成的几何体的体积为（　　）

• A、

  2

  9

  π
• B、

  4

  9

  π
• C、

  2

  3

  π
• D、

  4

  3

  π

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：由题意知P点的轨迹是以D为球心半径为1的球被平行六面体截得的曲面，它的体积是该球体积的

1

3

×

1

2

=

1

6

，由此能求出MN的中点P的轨迹（曲面）与共一顶点D的三个面所围成的几何体的体积．

解答： 解：∵△MDN为直角三角形，P为MN的中点，
∴DP=

1

2

MN=1．
∴P点的轨迹是以D为球心半径为1的球被平行六面体截得的曲面，
由题意得∠ADC=120°=

2π

3

，
∴它的体积是该球体积的

1

3

×

1

2

=

1

6

，
∴MN的中点P的轨迹（曲面）与共一顶点D的三个面所围成的几何体的体积为：
V=

1

6

×

4π

3

×13=

2π

9

．
故选：A．

点评：本题考查几何体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．