Question

18．为了解某市今年初二年级男生的身体素质状况，从该市初二年级的男生中抽取了一部分学生进行“掷实心球”的项目测试．成绩低于6米为不合格，成绩在6至8米（含6米不含8米）的为及格，成绩在8米至12米（含8米和12米，假定该市初二学生掷实心球均不超过12米）为优秀．把获得的所有数据，分成[2，4），[4，6）[6，8）[8，10）[10，12]五组，画出的频率分布直方图如图所示．已知有4名学生的成绩在10米到12米之间．
（1）求实数a的值及参加“掷实心球”项目测试的人数；
（2）根据此次测试成绩的结果，试估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率；
（3）若从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取2名学生再进行其他项目的测试，求所抽取的2名学生来自同一组的概率．

Answer 1

分析 （1）由频率分布直方图能求出a．再有4名学生的成绩在10米到12米之间，求出成绩在10米到12米之间的频率，由此能示出参加“掷实心球”项目测试的人数．
（2）求出频率分布直方图得成绩在8米至12米（含8米和12米）的频率，由此估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率．
（3）此次测试成绩不合格的男生成绩在区间[2，4）的有2人，成绩在[4，6）的有6人，由此能求出所抽取的2名学生来自同一组的概率．

解答 解：（1）由频率分布直方图，得：
（0.025+0.075+0.2+0.15+a）×2=1，
解得a=0.05．
∵有4名学生的成绩在10米到12米之间，
又成绩在10米到12米之间的频率为0.05×2=0.1，
∴参加“掷实心球”项目测试的人数为：$\frac{4}{0.1}=40$人．
（2）由频率分布直方图得成绩在8米至12米（含8米和12米）的频率为（0.15+0.05）×2=0.4，
成绩在8米至12米（含8米和12米，假定该市初二学生掷实心球均不超过12米）为优秀，
∴估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率为0.4．
（3）此次测试成绩不合格的男生成绩在区间[2，4）的有：0.025×2×40=2人，
成绩在[4，6）的有：0.075×2×40=6人，
从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取2名学生再进行其他项目的测试，
基本事件总数n=${C}_{8}^{2}$=28，
所抽取的2名学生来自同一组包含的基本事件个数m=${C}_{2}^{2}+{C}_{6}^{2}$=16，
∴所抽取的2名学生来自同一组的概率p=$\frac{m}{n}=\frac{16}{28}$=$\frac{4}{7}$．

点评 本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．