Question

如图1，直角梯形FBCE中，四边形ADEF是正方形，AB=AD=2，CD=4．将正方形沿AD折起，得到如图2所示的多面体，其中面ADE₁F₁⊥面ABCD，M是E₁C中点．
（1）证明：BM∥平面ADE₁F₁；
（2）求三棱锥D-BME₁的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）取DE中点N，连结MN，AN．根据三角形中位定理及已知可得MN∥AB，且MN=AB，即四边形ABMN为平行四边形，故BM∥AN，由线面平行的判定定理可得BM∥平面ADE₁F₁；
（2）由面面垂直的性质定理可得E₁D⊥面ABCD，进而E₁D⊥BC，利用勾股定理可得BC⊥BD，结合线面垂直的判定定理可得BC⊥平面BDE₁，进而由面面垂直的判定定理得到平面BCE₁⊥平面BDE₁，作DG⊥BE₁，则DG⊥平面BCE₁，DG是所求三棱锥的高，代入棱锥体积公式可得答案．

解答： 证明：（1）取DE中点N，连结MN，AN．
在△EDC中，M，N分别为E₁C，E₁D的中点，
∴MN∥CD，MN=

1

2

CD．
由已知AB∥CD，AB=

1

2

CD，
∴MN∥AB，且MN=AB．
∴四边形ABMN为平行四边形，
∴BM∥AN．…（3分）
又∵AN?平面ADE₁F₁，且BM?平面ADE₁F₁，
∴BM∥平面ADE₁F₁．…（4分）
解：（2）面ADE₁F₁⊥面ABCD，E₁D?面ADE₁F₁，面ADE₁F₁∩面ABCD=AD，E₁D⊥AD，
∴E₁D⊥面ABCD
又∵BC?面ABCD，
∴E₁D⊥BC…（6分）
梯形ABCD中，AB=AD=2，CD=4，∠A=90°，BC=BD=2

2

∴BD²+BC²=CD²，
∴∠CDB=90°，即BC⊥BD
又∵BD∩E₁D=D，
∴BC⊥平面BDE₁…（8分）
又BC?平面BCE₁，
∴平面BCE₁⊥平面BDE₁，
作DG⊥BE₁，则DG⊥平面BCE₁，即DG是所求三棱锥高…（10分）
三棱锥D-BME₁的体积V=

1

3

•DG•S△BME1=

1

6

•DG•S△BCE1，
在直角三角形BDE₁中，由面积关系可得DG=

2 6

3

，又S△BCE1=2

6

∴V=

4

3

…（14分）

点评：本题考查的知识点是棱锥的体积，直线与平面垂直的判定，平面与平面垂直的判定与性质，难度中档．