Question

11．已知函数f（x）=x+$\frac{4}{x}$
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）判断f（x）在（2，+∞）上的单调性并予以证明；
（3）求f（x）在[3，4]上的值域．

Answer 1

分析 （1）利用函数的奇偶性的定义，判断函数的奇偶性．
（2）利用函数的单调性的定义，判断函数的单调性．
（3）函数的单调性求出f（x）在[3，4]上的值域．

解答 解：（1）f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称，
再根据$f（-x）=-x-\frac{4}{x}=-f（x）$，可得f（x）为奇函数．
（2）任取x₁，x₂∈[2，+∞），令 x₁＜x₂，∵$f（{x_1}）-f（{x_2}）={x_1}+\frac{4}{x_1}-（{x_2}+\frac{4}{x_2}）$=${x_1}-{x_2}+\frac{{4（{x_2}-{x_1}）}}{{{x_1}{x_2}}}=（{x_1}-{x_2}）（1-\frac{4}{{{x_1}{x_2}}}）$=$\frac{{（{x_1}-{x_2}）（{x_1}{x_2}-4）}}{{{x_1}{x_2}}}$，
因为x₁-x₂＜0，x₁x₂＞4，所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以f（x）在[2，+∞）上是增函数．
（3）因为f（x）在[2，+∞）上是增函数，[3，4]⊆[2，+∞），所以f（x）在[3，4]上是增函数，
∴$f{（x）_{max}}=f（4）=5，f{（x）_{min}}=f（3）=\frac{10}{3}$，∴f（x）的值域为$[{\frac{10}{3}，5}]$．

点评 本题主要考查函数的奇偶性的判断方法，函数的单调性的定义和证明方法，利用函数的单调性求函数的值域，属于中档题．