Question

3．如图1是四棱锥的直观图，其正（主）视图和侧（左）视图均为直角三角形，俯视图外框为矩形，相关数据如图2所示．

（1）设AB中点为O，在直线PC上找一点E，使得OE∥平面PAD，并说明理由；
（2）若二面角P-AC-D的平面角的余弦值为$\frac{{\sqrt{6}}}{6}$，求四棱锥P-ABCD的外接球的表面积．

Answer 1

分析 （1）当E是PC中点时，OE∥平面PAD，取PD中点F，连接AF、EF、OF，证明四边形EFAO是平行四边形，然后证明OE∥平面ADP．
（2）过D作DH⊥AC交AC于点H，连接PH，说明∠PHD是二面角P-AC-D的平面角，判断四棱锥P-ABCD的外接球的直径即为PB，求解PB，然后求解四棱锥P-ABCD的外接球的表面积．

解答 解：（1）当E是PC中点时，OE∥平面PAD，
证明如下：取PD中点F，连接AF、EF、OF，
在△PDC中，E、F分别是PC、PD的中点，
∴EF是△PDC的中位线，
∴EF∥DC且$EF=\frac{1}{2}DC$，又O是AB中点，AB=DC，
∴EF∥AO且EF=AO，
∴四边形EFAO是平行四边形，
∴OE∥AF．
又∵AF?平面ADP，OE?平面ADP，
∴OE∥平面ADP．

（2）由三视图可得PD⊥平面ABCD，
在底面ABCD中，过D作DH⊥AC交AC于点H，连接PH，

∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴PD⊥AC，
又DH⊥AC，DH?平面ABCD，PD?平面ABCD，∵DH∩PD=D，∴AC⊥平面PD
又PH?平面PDH，∴PH⊥AC，
∴∠PHD是二面角P-AC-D的平面角，
在底面矩形ABCD，AB=8，AD=4，∴$AC=4\sqrt{5}$，$DH=\frac{8}{{\sqrt{5}}}$，
在Rt△PDH中，又$cos∠PHD=\frac{{\sqrt{6}}}{6}$，
∴$tan∠PHD=\frac{PD}{DH}=\sqrt{5}$，∴PD=8．
由直观图易知四棱锥P-ABCD的外接球的直径即为PB，
∴PB²=PD²+DB²=144．
故四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为4πR²=144π．

点评 本题考查二面角的平面角的应用，直线与平面平行的判定定理的应用，外接球的表面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．