Question

椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的中心是O，左，右顶点分别是A，B，点A到右焦点的距离为3，离心率为

1

2

，P是椭圆上与A，B不重合的任意一点．
（1）求椭圆方程；
（2）设Q（0，-m）（m＞0）是y轴上定点，若当P点在椭圆上运动时PQ最大值是

5

，求m的值．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用点A到右焦点的距离为3，离心率为

1

2

，求出a，c，可得b，即可求椭圆方程；
（2）求出PQ²=x₀²+（y₀+m）²=-

1

3

（y₀-3m）²+4m²+4，分类讨论，利用PQ最大值是

5

，求m的值．

解答： 解：（1）由题意得

a+c=3 c a = 1 2

，解得 

a=2 c=1

所以，所求方程为

x2

4

+

y2

3

=1．…（4分）
（2）PQ²=x₀²+（y₀+m）²=-

1

3

（y₀-3m）²+4m²+4，…（6分）
①当0＜m≤

3

3

时，PQ_max=2

m2+1

，令2

m2+1

=

5

，得m=

1

2

；…（8分）
②当m＞

3

3

时，PQ_max=m+

3

，令m+

3

=

5

，得m=

5

-

3

（舍去）；…（10分）
所以m的值是

1

2

．…（11分）

点评：本题考查椭圆的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．