Question

13．设数列{a_n}（n=1，2，3…）的前n项和S_n满足S_n=2a_n-a₁，且a₁，a₂+1，a₃成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{（{a}_{n}）^{2}-1}{{S}_{n}}$，数列{b_n}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）由条件S_n满足S_n=2a_n-a₁，求得数列{a_n}为等比数列，且公比q=2；再根据a₁，a₂+1，a₃成等差数列，求得首项的值，可得数列{a_n}的通项公式；
（2）由S_n=2a_n-a₁，求得数列{b_n}的通项公式，根据等比数列前n项和公式，即可求得数列{b_n}的前n项和为T_n．

解答 解：（1）由已知S_n=2a_n-a₁，
当n≥2，S_n-1=2a_n-1-a₁，
两式相减得a_n=2a_n-2a_n-1，即a_n=2a_n-1（n≥2），
从而a₂=2a₁，a₃=2a₂=4a₁，
∵a₁，a₂+1，a₃成等差数列，即a₁+a₃=2（a₂+1），
∴a₁+4a₁=2（2a₁+1），解得a₁=2，
∴数列{a_n}是首项为2，公比为2的等比数列，
数列{a_n}的通项公式a_n=2ⁿ；
（2）由（1）可知a₁=2，S_n=2a_n-a₁=2ⁿ⁺¹-2，
b_n=$\frac{（{a}_{n}）^{2}-1}{{S}_{n}}$=$\frac{（{2}^{n}-1）（{2}^{n}+1）}{2（{2}^{n}-1）}$=2^n-1+$\frac{1}{2}$，
数列{b_n}的前n项和为T_n，T_n=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$+$\frac{1}{2}$n，
=2ⁿ+$\frac{1}{2}$n-1，
∴数列{b_n}的前n项和为T_n，T_n=2ⁿ+$\frac{1}{2}$n-1．

点评 本题考查了错位相减法、等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．