Question

18．10、（文）若关于x的不等式x³-3x+3+a≤0恒成立，其中-2≤x≤3，则实数a的最大值为（　　）

• A． 1
• B． -1
• C． -5
• D． -21

Answer 1

分析 问题转化为a≤-x³+3x-3在x∈[-2，3]恒成立，令f（x）=-x³+3x-3，x∈[-2，3]，根据函数的单调性求出a的最大值即可．

解答 解：若关于x的不等式x³-3x+3+a≤0恒成立，
则a≤-x³+3x-3在x∈[-2，3]恒成立，
令f（x）=-x³+3x-3，x∈[-2，3]，
则f′（x）=-3x²+3=-3（x+1）（x-1），
令f′（x）＞0，解得：-1＜x＜1，
令f′（x）＜0，解得：x＞1或x＜-1，
故f（x）在[-2，-1）递减，在（-1，1）递增，在（1，2]递减，
而 f（-2）=-1，f（-1）=-5，f（1）=-1，f（2）=-5，
故a≤-5，
故a的最大值是-5，
故选：C．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．