Question

17．一个棱长为$6\sqrt{2}$的正四面体纸盒内放一个正方体，若正方体可以在纸盒内任意转动，则正方体棱长的最大值为（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 在一个棱长为6$\sqrt{2}$的正四面体纸盒内放一个正方体，并且能使正方体在纸盒内任意转动，说明正方体在正四面体的内切球内，求出内切球的直径，就是正方体的对角线的长，然后求出正方体的棱长．

解答 解：设球的半径为r，由正四面体的体积得：
4×$\frac{1}{3}×r×（6\sqrt{2}）^{2}$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×（6\sqrt{2}）^{2}×\sqrt{（6\sqrt{2}）^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{3}×6\sqrt{2}）^{2}}$，
解得r=$\sqrt{3}$，
设正方体的最大棱长为a，
∴3a²=（2$\sqrt{3}$）²，解得a=2．
故选：C．

点评 本题是中档题，考查正四面体的内接球的知识，球的内接正方体的棱长的求法，考查空间想象能力，转化思想，计算能力．