Question

8．已知f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{ln（x+1）}&{（x≥0）}\\{{e^x}-1}&{（x＜0）}\end{array}}$，若函数y=f（x）-kx恒有一个零点，则k的取值范围为（　　）

• A． k≤0
• B． k≤0或k≥1
• C． k≤0或k≥e
• D． k≤0或k≥$\frac{1}{e}$

Answer 1

分析 根据函数与方程的关系，将条件转化为两个函数的交点个数问题，利用导数和数形结合进行求解即可．

解答 解：由y=f（x）-kx=0得f（x）=kx，
作出函数f（x）和y=kx的图象如图，
由图象知当k≤0时，函数f（x）和y=kx恒有一个交点，
当x≥0时，函数f（x）=ln（x+1）的导数f′（x）=$\frac{1}{x+1}$，则f′（0）=1，
当x＜0时，函数f（x）=e^x-1的导数f′（x）=e^x，则f′（0）=e⁰=1，
即当k=1时，y=x是函数f（x）的切线，
则当0＜k＜1时，函数f（x）和y=kx有3个交点，不满足条件．
当k≥1时，函数f（x）和y=kx有1个交点，满足条件．
综上k的取值范围为k≤0或k≥1，
故选：B．

点评 本题主要考查函数零点个数的应用，利用分段函数的表达式，转化为两个函数的交点问题是解决本题的关键．注意利用数形结合进行求解．