Question

17．关于函数f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）+sin（2x+$\frac{π}{6}$），有
①y=f（x）的最大值为$\sqrt{2}$；
②y=f（x）的最小正周期是π
③y=f（x）在区间[-$\frac{π}{12}$，$\frac{13π}{24}$]上是减函数；
④直线x=$\frac{π}{6}$是函数y=f（x）的一条对称轴方程．
其中正确命题的序号是②④．

Answer 1

分析 利用两角差的余弦公式、两角和的正弦公式化简解析式，
由正弦函数的最大值判断①；由三角函数的周期公式求出f（x）的最小正周期，即可判断②；由x的范围求出$2x+\frac{π}{6}$的范围，由正弦函数的单调性判断③；把x=$\frac{π}{6}$代入$2x+\frac{π}{6}$计算，利用正弦函数的对称轴判断④．

解答 解：由题意得，f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）+sin（2x+$\frac{π}{6}$）
=$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=$2sin（2x+\frac{π}{6}）$，
①、当$sin（2x+\frac{π}{6}）$=1时，y=f（x）取到最大值为2，①不正确；
②、由T=$\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{2}=π$得，y=f（x）的最小正周期是π，②正确；
③、由$x∈[-\frac{π}{12}，\frac{13π}{24}]$ 得，$2x+\frac{π}{6}∈[0，\frac{5π}{4}]$，
所以y=f（x）在区间[-$\frac{π}{12}$，$\frac{13π}{24}$]上不是单调函数，③不正确；
④、当x=$\frac{π}{6}$时，$2x+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，
所以直线x=$\frac{π}{6}$是函数y=f（x）的一条对称轴方程，④正确，
故答案为：②④．

点评 本题考查正弦函数的图象与性质，两角差的余弦公式、两角和的正弦公式等，以及代入法的应用，考查化简、变形能力．