Question

19．若函数y=f（x）的定义域D中恰好存在n个值x₁，x₂，…，x_n满足f（-x_i）=f（x_i）（i=1，2，…，n），则称函数y=f（x）为定义域D上的“n度局部偶函数”．已知函数g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sin（\frac{π}{2}x）-1，x＜0}\\{lo{g}_{a}x（a＞0，a≠1），x＞0}\end{array}\right.$是定义域（-∞，0）∪（0，+∞）上的“3度局部偶函数”，则a的取值范围是（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 根据条件得到函数f（x）存在n个关于y轴对称的点，作出函数关于y轴对称的图象，根据对称性建立不等式关系 进行求解即可．

解答 解：由“n度局部偶函数”的定义可知，
函数存在关于y对称的点有n个，
当x＜0时，函数g（x）=sin（$\frac{π}{2}$x）-1，
关于y轴对称的函数为y=sin（-$\frac{π}{2}$x）-1
=-sin（$\frac{π}{2}$x）-1，x＞0，
作出函数g（x）和函数y=h（x）=-sin（$\frac{π}{2}$x）-1，
x＞0的图象如图：
若g（x）是定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）上的“3度局部偶函数”，
则等价为函数g（x）和函数y=-sin（$\frac{π}{2}$x）-1，x＞0的图象有且只有3个交点，
若a＞1，则两个函数只有一个交点，不满足条件；
当0＜a＜1时，则满足$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{g（2）＞h（2）}\\{g（4）＜h（4）}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{lo{g}_{a}2＞-1}\\{lo{g}_{a}4＜-1}\end{array}\right.$，则$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{a＜\frac{1}{2}}\\{a＞\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，即$\frac{1}{4}$＜a＜$\frac{1}{2}$，
故答案为：（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题主要考查函数图象的应用，根据条件得到函数对称点的个数，作出图象，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．