Question

【题目】已知圆，点是直线上一动点，过点作圆的切线

（1）当的横坐标为2时，求切线方程；

（2）求证：经过三点的圆必过定点，并求此定点的坐标；

（3）当线段长度最小时，求四边形的面积.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）

【解析】

（1）点，可设切线方程为：，利用圆心到直线的距离为半径可得，注意斜率不存在的直线也是圆的切线．

（2）设，过三点的圆的直径为，利用圆的直径式方程可得圆的一般方程，整理后可得圆过定点并能求得定点坐标．

（3）利用（2）的结论计算弦的方程，再计算到的距离后得到弦长与的关系式，由此可得弦长的最小值 ．

（1）当斜率不存在时，符合；

当斜率存在时，设切线方程为：，故，解得，

故切线方程为：，

综上，过的切线方程为或．

（2）设，因为，，

所以圆必过点且以为直径，其方程为：

即，

整理得到：　　

由， 解得或，所以圆过定点．

（3）因圆方程为，

圆：即．

②－①得圆方程与圆相交弦所在直线方程为

，点到直线的距离，

相交弦长即．

当时，有最小值，此时，四边形的面积．