题目内容
【题目】在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是,向量
,且
.
(1)求角B的值;
(2)若,且
,求△ABC的面积.
【答案】(1);(2)△ABC的面积为
。
【解析】
(1)由向量数量积的坐标运算可将m·n=bcos B化为cos C+
cos A=bcos B,然后用正弦定理的结论边化角可得 sin Acos C+sin Ccos A=2sin Bcos B,进而再用两角和正弦公式和诱导公式可求cos B=
,进而可求角B。(2)由(1)知B=
,可将cos
=
sin A中的角C化为A,可得cos
=
sin A。利用两角差的余弦公式可得tan A=
,求得A=
,进而求得C=
.由|m|=
可得即a2+c2=20,在直角三角形中,可得a=
c,进而可求a,c的值。可求结论。
(1) 由m·n=bcos B,得cos C+
cos A=bcos B,
sin Acos C+sin Ccos A=2sin Bcos B,
即 sin(A+C)=2sin Bcos B,sin B=2sin Bcos B,
∵0<B<π,sin B≠0,
∴cos B=,
∴B=.
(2) C=π-A-B=-A,cos
=
sin A
∴cos=
sin A
∴cos A=sin Atan A=
∵ 0<A<π,
∴A=,
∴C=π--
=
.
在Rt△ABC中,a=csin=
c,
又|m|=,即a2+c2=20,
∴a=2,c=4,b==2
,
△ABC的面积S=×2×2
=2
.

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