Question

【题目】已知函数f（x）=ln（1+x）﹣ （a＞0）
（1）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求a的值；
（2）若f（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，求a的取值范围；
（3）证明： （e为自然对数的底数）．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ，

∴ ，

∵x=1是函数f（x）的一个极值点，

f′（1）=0即a=2；

（2）解：∵f（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，∴f（x）min≥0，

当0＜a≤1时，f′（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，

即f（x）在[0，+∞）上为增函数，

∴f（x）min=f（0）=0成立，即0＜a≤1，

当a＞1时，令f′（x）≥0，则x＞a﹣1，

令f′（x）＜0，则0≤x＜a﹣1，

即f（x）在[0，a﹣1）上为减函数，在（a﹣1，+∞）上为增函数，

∴f（x）min=f（a﹣1）≥0，又f（0）=0＞f（a﹣1），则矛盾．

综上，a的取值范围为（0，1]．

（3）解：要证 ，只需证 ，

两边取自然对数得， ，

ln ﹣ ＞0ln（1+ ）﹣ ＞0，

由（2）知a=1时，f（x）=ln（1+x）﹣ 在[0，+∞）单调递增，

又 ＞0，f（0）=0，

∴f（ ）=ln ﹣ ＞f（0）=0，

成立．

【解析】（1）求出函数的导数，得到关于a的方程，解出即可；（2）问题转化为f（x）min≥0，根据函数的单调性，通过讨论a的范围求出a的具体范围即可；（3）不等式两边取对数，得到ln（1+ ）﹣ ＞0，结合函数的单调性证明即可．
【考点精析】掌握函数的极值与导数和函数的最大(小)值与导数是解答本题的根本，需要知道求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．