题目内容

【题目】已知函数f(x)=ex(x2﹣2x+2﹣a2)(a>0),g(x)=x2+6x+c(c∈R).
(1)若曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=﹣4x﹣2,求a的值;
(2)求函数f(x)的单调区间;
(3)当a=1时,对x1∈[﹣2,2],x2∈[﹣2,2],使f(x1)<g(x2)成立,求实数c的取值范围.

【答案】
(1)解:f′(x)=ex(x2﹣a2)=ex(x﹣a)(x+a),

由于曲线y=f(x)在点(0,f(0)出的切线为y=﹣4x﹣2,

解得:a=2,


(2)解:令f′(x)=0,ex(x﹣a)(x+a)=0,

解得:x1=a,x2=﹣a,

由f′(x)>0得:x<﹣a或x>a,由f′(x)<0,﹣a<x<a,

∴f(x)的单调递增区间为(﹣∞,﹣a),(a,+∞),单调减区间为(﹣a,a);


(3)解:对x1∈[﹣2,2],x2∈[﹣2,2],使f(x1)<g(x2)成立,

等价于f(x)在[﹣2,2],上的最大值小于g(x)在[﹣2,2]上的最大值,

当a=1时f(x)=ex(x2﹣2x+1),由(Ⅱ)可得f(x)与f(x)在[﹣2,2],情况下:

x

﹣2

(﹣2,1)

﹣1

(﹣1,1)

1

(1,2)

2

f′(x)

+

0

0

+

f(x)

9e2

4e1

0

e2

由上表可知:f(x)在[﹣2,2上的最大值诶f(2)=e2

∵g′(x)=2x+f6>0,在[﹣2,2]上恒成立,

∴g(x)=x2+6x+c在[﹣2,2]上单调递增,

∴最大值为g(2)=c+16,

f(2)<g(2),即e2<c+16,得c>e2﹣16,

故实数c的取值范围(e2﹣16,∞)


【解析】(1)求函数的导数,利用函数f(x)在x=0处的切线方程为y=﹣4x﹣2,建立方程关系即可求a的值;(2)求函数的导数,令f′(x)=0,求得方程的两个解,f′(x)>0,求得函数的单调递增区间,f′(x)<0,求得函数的单调递减区间;(3)当a=1,求得导函数解析式,将原条件转化成f(x)在[﹣2,2],上的最大值小于g(x)在[﹣2,2]上的最大值,利用函数单调性求得f(x)和g(x)的最大值,即可求得c的取值范围.
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性,需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减才能得出正确答案.

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