Question

18．已知实数x满足（$\frac{1}{3}$）^2x-4-（$\frac{1}{3}$）^x-（$\frac{1}{3}$）^x-2+$\frac{1}{9}$≤0且f（x）=log₂$\frac{x}{2}$$lo{g}_{\sqrt{2}}\frac{\sqrt{x}}{2}$
（1）求实数x的取值范围；
（2）求f（x）的最大值和最小值，并求此时x的值．

Answer 1

分析 （1）化简可得81（$\frac{1}{3}$）^2x-10（$\frac{1}{3}$）^x+$\frac{1}{9}$≤0，从而解得$\frac{1}{9}$≤9（$\frac{1}{3}$）^x≤1，从而求得；
（2）化简f（x）=（log₂x-1）（log₂x-2）=（log₂x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，从而求最值．

解答 解：（1）∵（$\frac{1}{3}$）^2x-4-（$\frac{1}{3}$）^x-（$\frac{1}{3}$）^x-2+$\frac{1}{9}$≤0，
∴81（$\frac{1}{3}$）^2x-10（$\frac{1}{3}$）^x+$\frac{1}{9}$≤0，
∴$\frac{1}{9}$≤9（$\frac{1}{3}$）^x≤1，
∴0≤x-2≤2，
故实数x的取值范围为[2，4]；
（2）f（x）=log₂$\frac{x}{2}$$lo{g}_{\sqrt{2}}\frac{\sqrt{x}}{2}$
=（log₂x-1）（log₂x-2）
=（log₂x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，
∵x∈[2，4]，∴log₂x∈[1，2]，
∴-$\frac{1}{4}$≤（log₂x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{4}$≤0，
∴当x=2$\sqrt{2}$时，f（x）有最小值-$\frac{1}{4}$，当x=2或4时，f（x）有最大值0．

点评 本题考查了幂运算的应用及对数运算的应用，同时考查了整体思想的应用及配方法的应用．