Question

9．已知函数f（x）=lnx+（a-1）x，h（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$ax²．
（1）若函数f（x）有两个不同的零点x₁，x₂，求实数a的取值范围；
（2）讨论函数h（x）的单调性．

Answer 1

分析 （1）由题意可得1-a=$\frac{lnx}{x}$，x＞0，令g（x）=$\frac{lnx}{x}$，g′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，求出单调区间，可得极大值，且为最大值，可得a的范围；
（2）求出h（x）的导数，讨论a的范围，a≥0时，a=-1，a＜-1，-1＜a＜0，运用导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间．

解答 解：（1）由f（x）=0，可得1-a=$\frac{lnx}{x}$，x＞0，
令g（x）=$\frac{lnx}{x}$，g′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
当x＞e时，g′（x）＜0，g（x）递减；
当0＜x＜e时，g′（x）＞0，g（x）递增．即有x=e处取得极大值，且为最大值$\frac{1}{e}$，
函数f（x）有两个不同的零点，
可得y=1-a和g（x）=$\frac{lnx}{x}$有两个交点，
可得0＜1-a＜$\frac{1}{e}$，解得1-$\frac{1}{e}$＜a＜1．
故a的取值范围是（1-$\frac{1}{e}$，1）；
（2）h（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$ax²=lnx+（a-1）x-$\frac{1}{2}$ax²，x＞0，
h′（x）=$\frac{1}{x}$+a-1-ax=-$\frac{（x-1）（ax+1）}{x}$，
当a≥0时，由h′（x）＞0，可得0＜x＜1；由h′（x）＜0，可得x＞1；
当a＜0时，a=-1时，h′（x）=$\frac{（x-1）^{2}}{x}$≥0；
当a＜-1时，-$\frac{1}{a}$＜1，由h′（x）＞0，可得0＜x＜-$\frac{1}{a}$，或x＞1；
由h′（x）＜0，可得-$\frac{1}{a}$＜x＜1；
当-1＜a＜0时，-$\frac{1}{a}$＞1，由h′（x）＞0，可得0＜x＜1或x＞-$\frac{1}{a}$；
由h′（x）＜0，可得1＜x＜-$\frac{1}{a}$．
综上可得，a≥0时，h（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减；
a=-1时，h（x）在（0，+∞）递增；
a＜-1时，h（x）在（-$\frac{1}{a}$，1）递减；在（0，-$\frac{1}{a}$），（1，+∞）递增；
-1＜a＜0时，h（x）在（1，-$\frac{1}{a}$）递减；在（0，1），（-$\frac{1}{a}$，+∞）递增．

点评 本题考查函数的零点问题的解法，注意运用参数分离和图象的交点个数，考查函数的单调性的判断，注意运用分类讨论的思想方法，结合导数，考查化简运算能力，属于中档题．