Question

7．平行四边形ABCD内接于椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，直线AB的斜率k₁=1，则直线AD的斜率k₂=（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． -$\frac{1}{2}$
• C． -$\frac{1}{4}$
• D． -2

Answer 1

分析 设直线AB的方程为y=x+t，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用椭圆与平行四边形的对称性可得：D（-x₂，-y₂）．直线方程与椭圆方程联立化为3x²+4tx+2t²-4=0，△＞0，解得0＜t²＜6，可得直线AD的斜率k₂=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+2t}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=1+$\frac{2t}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，再利用根与系数的关系即可得出．

解答 解：设直线AB的方程为y=x+t，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用椭圆与平行四边形的对称性可得：D（-x₂，-y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+t}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，化为3x²+4tx+2t²-4=0，△＞0，解得0＜t²＜6（t=0时不能构成平行四边形）．
∴x₁+x₂=-$\frac{4t}{3}$．
∴直线AD的斜率k₂=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+2t}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=1+$\frac{2t}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=$1+\frac{2t}{-\frac{4t}{3}}$=-$\frac{1}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查了椭圆与平行四边形的对称性、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．