Question

1．已知等比数列{a_n}的前n项和S_n=$\frac{{4}^{n}-1}{3}$，则数列{$\sqrt{{a}_{n}}$}的前n项和T_n=（　　）

• A． 2ⁿ-1
• B． $\sqrt{\frac{{4}^{n}-1}{3}}$
• C． $\frac{{2}^{n}-1}{3}$
• D． $\frac{{2}^{n+1}-3}{3}$

Answer 1

分析 由等比数列{a_n}的前n项和求出首项和公比，进一步得到数列{$\sqrt{{a}_{n}}$}的首项和公比，再由等比数列的前n项和得答案．

解答 解：由S_n=$\frac{{4}^{n}-1}{3}$，得a₁=S₁=1；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{{4}^{n}-1}{3}-\frac{{4}^{n-1}-1}{3}$=4^n-1．
验证a₁=1适合上式，
∴${a}_{n}={4}^{n-1}$，则等比数列{a_n}的公比q=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{{4}^{n}}{{4}^{n-1}}=4$．
∴数列{$\sqrt{{a}_{n}}$}的首项为$\sqrt{{a}_{1}}=1$，公比为2．
∴数列{$\sqrt{{a}_{n}}$}的前n项和T_n=$\frac{1×（1-{2}^{n}）}{1-2}={2}^{n}-1$．
故选：A．

点评 本题考查等比数列的前n项和，考查等比关系的确定，是中档题．