题目内容
13．已知函数f（x）=|x+2|-m，m∈R，且f（x）≤0的解集为[-3，-1]（1）求m的值；
（2）设 a、b、c 为正数，且 a+b+c=m，求.$\sqrt{3a+1}$+$\sqrt{3b+1}$+$\sqrt{3c+1}$的最大值．
分析 （1）由题意，|x+2|≤m?$\left\{\begin{array}{l}{m≥0}\\{-m-2≤x≤m-2}\end{array}\right.$，由f（x）≤0的解集为[-3，-1]，得$\left\{\begin{array}{l}{-m-2=-3}\\{m-2=-1}\end{array}\right.$，即可求实数m的值；
（2）由（1）得：a+b+c=1，再利用柯西不等式求得$\sqrt{3a+1}$+$\sqrt{3b+1}$+$\sqrt{3c+1}$的最小值．
解答 解：（1）由题意，|x+2|≤m?$\left\{\begin{array}{l}{m≥0}\\{-m-2≤x≤m-2}\end{array}\right.$，由f（x）≤0的解集为[-3，-1]，得$\left\{\begin{array}{l}{-m-2=-3}\\{m-2=-1}\end{array}\right.$，解得m=1；
（2）由（1）可得a+b+c=1，
由柯西不等式可得（3a+1+3b+1+3c+1）（12+12+12]≥（$\sqrt{3a+1}$+$\sqrt{3b+1}$+$\sqrt{3c+1}$）2，
∴.$\sqrt{3a+1}$+$\sqrt{3b+1}$+$\sqrt{3c+1}$$≤3\sqrt{2}$
当且仅当.$\sqrt{3a+1}$=$\sqrt{3b+1}$=$\sqrt{3c+1}$，即a=b=c=$\frac{1}{3}$时等号成立，
∴$\sqrt{3a+1}$+$\sqrt{3b+1}$+$\sqrt{3c+1}$的最小值为3$\sqrt{2}$．
点评 本题主要考查绝对值三角不等式、柯西不等式的应用，属于基础题．
练习册系列答案
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1．已知等比数列{an}的前n项和Sn=$\frac{{4}^{n}-1}{3}$，则数列{$\sqrt{{a}_{n}}$}的前n项和Tn=（ ）
| A． | 2n-1 | B． | $\sqrt{\frac{{4}^{n}-1}{3}}$ | C． | $\frac{{2}^{n}-1}{3}$ | D． | $\frac{{2}^{n+1}-3}{3}$ |
18．已知平面α及直线a，b，则下列说法正确的是（ ）
| A． | 若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线平行 | |
| B． | 若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线不可能垂直 | |
| C． | 若直线a，b平行，则这两条直线中至少有一条与平面α平行 | |
| D． | 若直线a，b垂直，则这两条直线与平面α不可能都垂直 |