Question

11．下列命题中所有正确命题的序号为①③④．
①若方程a²x²+（a+2）y²+2ax+a=0表示圆，那么实数a=-1；
②已知函数f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x的图象与函数y=g（x）的图象关于直线y=x对称，令h（x）=g（1-x²），则h（x）的图象关于原点对称；
③在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是AB和AA₁的中点，则直线CE、D₁F、DA三线共点；
④幂函数的图象不可能经过第四象限．

Answer 1

分析 根据圆的一般方程，可判断①；根据反函数及函数的奇偶性，可判断②；根据正方体的几何特征，可判断③；根据幂函数的图象和性质，可判断④．

解答 解：①若方程a²x²+（a+2）y²+2ax+a=0表示圆，
则$\left\{\begin{array}{l}{a}^{2}=a+2\\ 1-a＞0\end{array}\right.$，解得：a=-1；故正确；
②已知函数f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x的图象与函数y=g（x）的图象关于直线y=x对称，
则g（x）=${log}_{\frac{1}{2}}x$，则h（x）=g（1-x²）=${log}_{\frac{1}{2}}（1-{x}^{2}）$，
则h（-x）=h（x），
则h（x）的图象关于y轴对称；
③在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是AB和AA₁的中点，
D₁F?平面AA₁D₁D，CE?平面ABCD，
令直线CE、D₁F交于P点，
则P∈平面AA₁D₁D，且P∈平面ABCD，
∵平面AA₁D₁D∩平面ABCD=直线AD，
则直线CE、D₁F、DA三线共点；故正确；
④幂函数的图象不可能经过第四象限．故正确；
故答案为：①③④

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了圆的方程，反函数，函数的奇偶性，正方体的几何特征，难度中档．