Question

4．已知M、N是焦点为F的抛物线y²=4x上两个不同点，且线段MN的中点A的横坐标是3，直线MN与x轴交于点B，则点B的横坐标的取值范围是（　　）

• A． （-3，3]
• B． （-∞，3]
• C． （-6，-3]
• D． （-6，3）

Answer 1

分析 设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），A（3，y₀）．设直线MN的方程为：my=x+t，与抛物线方程联立化为：y²-4my+4t=0，△＞0，即t＜m²．利用根与系数的关系、中点坐标公式可得y₀=2m．可得3+t=2m²，可得x_B=-t=-2m²+3，即可得出．

解答 解：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），A（3，y₀）．
设直线MN的方程为：my=x+t，
联立$\left\{\begin{array}{l}{my=x+t}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化为：y²-4my+4t=0，
△=16m²-16t＞0，即t＜m²．
y₁+y₂=4m，∴y₀=2m．
∴3+t=2m²，
∴x_B=-t=-2m²+3≤3，
又t＜m²，可得-2m²+3＞-m²，解得m²＜3，
∴x_B=-t=-2m²+3＞-3，
∴x_B=-2m²+3∈（-3，3]．
故选：A．

点评 本本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题、中点坐标公式、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．