Question

7．已知曲线$f（x）={x^3}+ax+\frac{1}{4}$在x=0处的切线与曲线g（x）=-lnx相切，则实数a=$-{e}^{\frac{3}{4}}$．

Answer 1

分析 求出函数f（x）的导函数，得到f′（0）=a，再求得f（0），写出直线方程的点斜式，设切线切曲线g（x）=-lnx于点（x₀，-lnx₀），求出g′（x），可得关于a，x₀的方程组，求解得答案．

解答 解：由$f（x）={x^3}+ax+\frac{1}{4}$，得f′（x）=3x²+a，
则f′（0）=a，
又f（0）=$\frac{1}{4}$，
∴曲线$f（x）={x^3}+ax+\frac{1}{4}$在x=0处的切线方程为y-$\frac{1}{4}=a（x-0）$，
即y=ax+$\frac{1}{4}$．
设直线y=ax+$\frac{1}{4}$与曲线g（x）=-lnx的切点为（x₀，-lnx₀），
由g′（x）=$-\frac{1}{x}$，得g′（x₀）=$-\frac{1}{{x}_{0}}$，
则$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{{x}_{0}}=a①}\\{-ln{x}_{0}=a{x}_{0}+\frac{1}{4}②}\end{array}\right.$，
由①得${x}_{0}=-\frac{1}{a}$，代入②得：$-ln（-\frac{1}{a}）=-1+\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$，
∴$ln（-\frac{1}{a}）=-\frac{3}{4}$，则$-\frac{1}{a}={e}^{-\frac{3}{4}}$，
∴a=$-\frac{1}{{e}^{-\frac{3}{4}}}$=$-{e}^{\frac{3}{4}}$．
故答案为：$-{e}^{\frac{3}{4}}$．

点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题．