Question

3．记[x]表示不超过实数x的最大整数．设集合A={（x，y）|x²+y²≤1}，B={（x，y）|[x]²+[y]²≤1}．则A∪B所表示的平面区域的面积为5+$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 讨论x∈[-1，0）与x∈[0，1）和x∈[1，2）时，化简集合B，求出A∪B所表示的平面区域所对应的面积．

解答 解：集合A表示一个以原点（0，0）为圆心的单位圆（即半径为1的圆）；
集合B可以这样考虑：当x∈[-1，0）时，[x]=-1，于是[y]=0，y∈[0，1）；
当x∈[0，1）时，[x]=0，于是[y]=-1或0或1，y∈[-1，2）；
当x∈[1，2）时，[x]=1，于是[y]=0，y∈[0，1）；
画出图形，如图所示；

所以A∪B所表示的平面区域由五个单位正方形和第三象限的$\frac{1}{4}$单位圆构成，
其面积为$5+\frac{π}{4}$．
故答案为：5+$\frac{π}{4}$．

点评 本题考查了不等式表示平面区域的应用问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是基础题目．