题目内容
13．
如图，OA是南北方向的一条公路，OB是北偏东45°方向的一条公路，某风景区的一段边界为曲线C．为方便游客光，拟过曲线C上的某点分别修建与公路OA，OB垂直的两条道路PM，PN，且PM，PN的造价分别为5万元/百米，40万元/百米，建立如图所示的直角坐标系xoy，则曲线符合函数y=x+$\frac{{4\sqrt{2}}}{x^2}$（1≤x≤9）模型，设PM=x，修建两条道路PM，PN的总造价为f（x）万元，题中所涉及的长度单位均为百米．（1）求f（x）解析式；
（2）当x为多少时，总造价f（x）最低？并求出最低造价．
分析 （1）求出P的坐标，直线OB的方程，点P到直线x-y=0的距离，即可求f（x）解析式；
（2）利用导数的方法最低造价．
解答 解：（1）在如图所示的直角坐标系中，因为曲线C的方程为$y=x+\frac{{4\sqrt{2}}}{x^2}（{1≤x≤9}）$，
所以点P坐标为$（{x，x+\frac{{4\sqrt{2}}}{x^2}}）$，
直线OB的方程为x-y=0，…（2分）
则点P到直线x-y=0的距离为$\frac{{|{x-（{x+\frac{{4\sqrt{2}}}{x^2}}）}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|{\frac{{4\sqrt{2}}}{x^2}}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{4}{x^2}$，…（4分）
又PM的造价为5万元/百米，PN的造价为40万元/百米．
则两条道路总造价为$f（x）=5x+40•\frac{4}{x^2}=5（{x+\frac{32}{x^2}}）（{1≤x≤9}）$． …（8分）
（2）因为$f（x）=5x+40•\frac{4}{x^2}=5（{x+\frac{32}{x^2}}）（{1≤x≤9}）$，
所以$f'（x）=5（{1-\frac{64}{x^3}}）=\frac{{5（{x^3}-64）}}{x^3}$，…（10分）
令f'（x）=0，得x=4，列表如下：
| x | （1，4） | 4 | （4，9） |
| f'（x） | - | 0 | - |
| f（x） | 单调递减 | 极小值 | 单调递增 |
答：（1）两条道路PM，PN总造价f（x）为$f（x）=5（{x+\frac{32}{x^2}}）$（1≤x≤9）；
（2）当x=4时，总造价最低，最低造价为30万元． …（14分）
（注：利用三次均值不等式$f（x）=5（{x+\frac{32}{x^2}}）=5（{\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+\frac{32}{x^2}}）≥5×3\root{3}{8}=30$，
当且仅当$\frac{x}{2}=\frac{x}{2}=\frac{32}{x^2}$，即x=4时等号成立，照样给分．）
点评 本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的运用，确定函数的解析式是关键．
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4．某市交警部门为了解本市实习期司机对新交通法规的掌握情况，随机对100名实习期司机进行调查，调查问卷共10道题，答题情况如下表：
（Ⅰ）如果实习期司机答对题目数不少于9道，就认为该实习期司机对新交通法规的掌握情况比较好，试估计该市实习期司机对新交通法规掌握情况比较好的概率；
（Ⅱ）从答对题目数不少于8道的实习期司机中任意选出两人做进一步的调查，求选出的两人中至少有一名女实习期司机的概率．
| 答对题目数 | 小于8 | 8 | 9 | 10 |
| 女 | 2 | 13 | 12 | 8 |
| 男 | 3 | 37 | 16 | 9 |
（Ⅱ）从答对题目数不少于8道的实习期司机中任意选出两人做进一步的调查，求选出的两人中至少有一名女实习期司机的概率．
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=AA1，AB⊥AC，D为BC中点．AB1与A1B交于点O．
8．将函数f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）的图象向左平移$\frac{π}{4}$个单位，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的一个单调递减区间是（ ）
| A． | [-$\frac{5π}{12}$，0] | B． | [-$\frac{π}{3}$，0] | C． | [0，$\frac{π}{3}$] | D． | [$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$] |
18．在直角坐标平面内，满足方程$（{y^2}+2|x|）（\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}）=0$的点（x，y）所构成的图形为（ ）
| A． | 抛物线及原点 | B． | 双曲线及原点 | ||
| C． | 抛物线、双曲线及原点 | D． | 两条相交直线 |