Question

已知函数f（x）=a^|x|+

2

ax

（a＞0，a≠1）
（1）若a＞1，且关于x的方程f（x）=m有两个不同的正数解，求实数m的取值范围；
（2）设函数g（x）=f（-x），x∈[-2，+∞），满足如下性质：若存在最大（小）值，则最大（小）值与a无关．试求a的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,函数的零点

专题：导数的综合应用

分析：（1）令a^x=t，x＞0，由a＞1得t＞1，关于x的方程f（x）=m有两个不同的正数解，转化为：方程t+

2

t

=m有相异的且均大于1的两根，列出不等式求得；
（2）利用导数求函数的最值，注意对a分类讨论．

解答： 解：（1）令a^x=t，x＞0，
∵a＞1，所以t＞1，
∴关于x的方程f（x）=m有两个不同的正数解转化为：方程t+

2

t

=m有相异的且均大于1的两根，
∴

m2-8＞0 m 2 ＞1 12-m+2＞0

解得2

2

＜m＜3，
故实数m的取值范围是（2

2

，3）．
（2）g（x）=a^|x|+2a^x，x∈[-2，+∞）
①当a＞1时，
x≥0时，a^x≥1，g（x）=3a^x，所以g（x）∈[3，+∞），
-2≤x＜0时，

1

a2

≤ax＜1，g（x）=a^-x+2a^x，所以g′（x）=-a^-xlna+2a^xlna=

2(ax)2-1

ax

lna，
ⅰ当

1

a2

＞

1 2

即1＜a＜

4	2

时，对?x∈（-2，0），g′（x）＞0，所以g（x）在[-2，0）上递增，
所以g（x）∈[a²+

2

a2

，3），
综上：g（x）有最小值为a²+

2

a2

与a有关，不符合（10分）
ⅱ当

1

a2

≤

1 2

即a≥

4	2

时，由g′（x）=0得x=-

1

2

loga²，
且当-2＜x＜-

1

2

loga²时，g′（x）＜0，
当-

1

2

loga²＜x＜0时，g′（x）＞0，
所以g（x）在[-2，-

1

2

loga²]上递减，在[-

1

2

loga²，0]上递增，
所以g（x）min=g（-

1

2

loga²）=2

2

，
综上：g（x）有最小值为2

2

与a无关，符合要求．
②当0＜a＜1时，
a）x≥0时，0＜a^x≤1，g（x）=3a^x，所以g（x）∈（0，3]
b）-2≤x＜0时，1＜a^x≤

1

a2

，g（x）=a^-x+2a^x，
所以g′（x）=-a-xlna+2axlna=

2(ax)2-1

ax

lna＜0，g（x）在[-2，0）上递减，
所以g（x）∈（3，a²+

2

a2

]，
综上：a）b）g（x）有最大值为a²+

2

a2

与a有关，不符合
综上所述，实数a的取值范围是a≥

4	2

．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的最值知识，考查分类讨论思想的运用能力，属难题．