Question

已知函数f（x）=xcosx-sinx+

1

4

x²，函数g（x）=-

1

3

x³+

1

4

x²．
（I）当x∈（0，π）时．求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若h（x）=f（x）-g（x），x∈（0，1），求证：函数h（x）的图象上任意两点连线的斜率恒为正值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（I）求出f′（x），在x∈（0，π）时，求出f′（x）=0时x的值，通过列表求出f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设出图象上任意两点P（x₁，h（x₁）），Q（x₂，h（x₂）），且x₁＜x₂，转化为证明

h(x1)-h(x2)

x1-x2

＞0，即h（x₁）＜h（x₂）；证h（x）=f（x）-g（x）在x∈（0，1）上是增函数即可．

解答： 解：（I）根据题意，得：
f′（x）=

1

2

x-xsinx=x（

1

2

-sinx），
当x∈（0，π）时，
令f′（x）=0，解得x=

π

6

，或x=

5π

6

；
列表如下：

x	（0， π 6 ）	π 6	（ π 6 5π 6 ）	5π 6	（ 5π 6 π）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

∴f（x）的单调增区间是（0，

π

6

），（

5π

6

，π），单调减区间是（

π

6

，

5π

6

）．
（Ⅱ）设P（x₁，h（x₁）），Q（x₂，h（x₂））为图象上任意两点，且x₁＜x₂，
则所证结果为

h(x1)-h(x2)

x1-x2

＞0等价于h（x₁）＜h（x₂）；
则只需证h（x）=f（x）-g（x）在x∈（0，1）上是增函数，
∵h（x）=f（x）-g（x）=xcosx-sinx+

1

3

x³，x∈（0，1]，
∴h′（x）=-xsinx+x²=x（x-sinx）；
设φ（x）=xsinx，x∈[0，1]，则φ′（x）=1-cosx≥0，
∴φ（x）在[0，1）上单调递增，
∴φ（x）＞φ（0）=0在x∈[0，1）上成立，
∴h′（x）＞0对x∈（0，1]恒成立，
即h（x）在x∈（0，1）上单调递增，
所以，原命题成立．

点评：本题考查了导数的综合应用问题，即利用导数求函数的单调区间以及证明函数的单调性问题，解题时应仔细分析，必要时应构造函数，是较难的综合题．