Question

4．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a
（1）求证A₁C⊥平面BC₁D
（2）求四面体A₁BDC₁的体积．

Answer 1

分析 （1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明A₁C⊥平面BC₁D．
（2）利用向量法求出点A₁到平面BDC₁的距离，由此能求出四面体A₁BDC₁的体积．

解答 证明：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
A₁（a，0，a），B（a，a，0），C（0，a，0），D（0，0，0），C₁（0，a，a），
$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（-a，a，-a），$\overrightarrow{DB}$=（a，a，0），$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=（0，a，a），
$\overrightarrow{{A}_{1}C}•\overrightarrow{DB}=-{a}^{2}+{a}^{2}+0=0$，
$\overrightarrow{{A}_{1}C}•\overrightarrow{D{C}_{1}}=0+{a}^{2}-{a}^{2}=0$，
∴A₁C⊥DB，A₁C⊥DC₁，
∵DB∩DC₁=D，∴A₁C⊥平面BC₁D．
解：（2）设平面BDC₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=ax+ay=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{C}_{1}}=ay+az=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，1），
$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（a，0，a）．
点A₁到平面BDC₁的距离d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{A}_{1}}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2a}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}a$，
DB=DC₁=BC₁=$\sqrt{2}a$，
∴${S}_{△BD{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}a×\sqrt{2}a×sin60°$=$\frac{\sqrt{3}}{2}{a}^{2}$，
∴四面体A₁BDC₁的体积V=$\frac{1}{3}{S}_{△BD{C}_{1}}×d$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}{a}^{2}×\frac{2\sqrt{3}}{3}a$=$\frac{{a}^{3}}{3}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查四面体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．