Question

16．已知函数f（x）=ax³+bx+c在x=2处取得极值为c-16．
（1）求a、b的值；
（2）若c=12，求f（x）在[-3，3]上的最大及最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，根据f（2），f′（2）的值，得到关于a，b的方程组，解出即可；
（2）求出f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值，确定函数的最值即可．

解答 解：（1）因f（x）=ax³+bx+c，
故f'（x）=3ax²+b（2分）
由于f（x）在点x=2处取得极值
故有$\left\{{\begin{array}{l}{f'（2）=0}\\{f（2）=c-16}\end{array}}\right.$，即$\left\{{\begin{array}{l}{12a+b=0}\\{8a+2b+c=c-16}\end{array}}\right.$，（6分）
化简得$\left\{{\begin{array}{l}{12a+b=0}\\{4a+b=-8}\end{array}}\right.$，
解得$\left\{{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-12}\end{array}}\right.$（8分）
（2）由（1）知f（x）=x³-12x+12，f'（x）=3x²-12
令f'（x）=0，得x₁=-2，x₂=2（10分）
当x∈（-∞，-2）时，f'（x）＞0，故f（x）在（-∞，-2）上为增函数；
当x∈（-2，2）时，f'（x）＜0，故f（x）在（-2，2）上为减函数
当x∈（2，+∞）时f'（x）＞0，故f（x）在（2，+∞）上为增函数．（13分）
由此可知f（x）在x₁=-2处取得极大值f（-2）=28，
f（x）在x₂=2处取得极小值f（2）=-4
此时f（-3）=21，f（3）=3（15分）
因此f（x）上[-3，3]的最大值为f（-2）=28，最小值为f（2）=-4（16分）

点评 本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．