Question

数列{a_n}中，a₁=3，对于任意大于1的正整数n，点（

an

，

an-1

）都在直线x-y-

3

=0上，则

lim

n→∞

an

(n+1)2

=

 

．

Answer 1

考点：数列的极限

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：根据一个点在一条直线上，点的坐标满足直线的方程，代入整理成一个等差数列，看出首项和公差，写出数列的通项公式，两边开方，求出a_n=3n²，即可求出

lim

n→∞

an

(n+1)2

．

解答： 解：∵点（

an

，

an-1

）都在直线x-y-

3

=0上，
∴

an

-

an-1

=

3

又a₁=3，
∴{

an

}是以

3

为首项，

3

为公差的等差数列，
∴

an

=

3

n，
即a_n=3n²，
∴

lim

n→∞

an

(n+1)2

=

lim

n→∞

3n2

(n+1)2

=

lim

n→∞

3

1+ 2 n + 1 n2

=3
故答案为：3．

点评：本题考查等差数列，考查等差数列的性质，考查等差数列的通项，考查极限知识，是一个简单的综合题目．