Question

三角形ABC中，b=5，c=3且满足sin²2A-sin2AsinA+cos2A=1，求cos（B-C）

Answer 1

考点：两角和与差的余弦函数

专题：三角函数的求值

分析：利用二倍角的正弦与同角三角函数间的关系式可求得cosA=-

1

2

，sinA=

1-cos2A

=

3

2

，再利用余弦定理，可求得a=7，利用正弦定理可求得sinB、sinC，cosB、cosC，最后利用两角差的余弦即可求得答案．

解答： 解：依题意得：（2sinAcosA）²-2（sinAcosA）sinA+（1-2sin²A）=1，
4sin²Acos²A-2sin²AcosA-2sin²A=0，等号两端同除以2sin²A，得2cos²A-cosA-1=0，
整理得：（2cosA+1）（cosA-1）=0，
所以，cosA=-

1

2

或cosA=1（舍去），
所以，cosA=-

1

2

，sinA=

1-cos2A

=

3

2

．
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=25+9-2×5×3×（-

1

2

）=49，
所以a=7．
因为

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

，所以

7

3 2

=

5

sinB

=

3

sinC

，解得：sinB=

5 3

14

，sinC=

3 3

14

，cosB=

1-sin2B

=

11

14

，cosC=

1-sin2C

=

13

14

，
所以，cos（B-C）=cosBcosC+sinBsinC=

55 3 +39 3

142

=

94 3

196

=

47 3

98

．

点评：本题考查两角和与差的余弦函数，考查二倍角的正弦与同角三角函数间的关系式的应用，考查正弦定理与余弦定理的应用，考查化归思想与综合运算能力，属于难题．