Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意n∈N^*，满足S_n=2ⁿ⁺¹-2，数列b_n=log₂a_n．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列c_n=

1

bnbn+1

，求数列{c_n}的前项和 T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（Ⅰ）根据数列的递推关系即可求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）利用裂项法即可求数列{b_n}的前 n项和为 T_n．

解答： 解：（Ⅰ）当n≥2时，则a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ⁺¹-2-2ⁿ+2=2ⁿ，
当n=1时，a₁=S₁=2²-2=4-2=2，满足a_n=2ⁿ，
故数列{a_n}的通项公式为a_n=2ⁿ；
则b_n=log₂a_n=log₂2ⁿ=n．
（Ⅱ）c_n=

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
则数列{c_n}的前项和 T_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

点评：本题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式、裂项相消法求数列的前n项和，考查运算求解能力和函数与方程思想．