Question

已知向量

a

=（1，cos（ωx-

π

6

）），

b

=（

3

，

3

sin（ωx-

π

6

）），其中ω为常数，且ω＞0
（1）若ω=1，且

a

∥

b

，求tanx的值；
（2）设函数f（x）=（

a

-

b

）²-（

3

-1）²，若f（x）的最小正周期为π，求f（x）在x∈（0，

π

2

）时的值域．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用

专题：平面向量及应用

分析：（1）根据向量的运算得出tan（x-

π

6

）=1，运用tanx=tan[（x-

π

6

）+

π

6

]两角和正切公式即可．
（2）运用数量积得出f（x）=2-2sin（2x-

π

6

），根据三角函数性质求解得出-

1

2

＜sin（2x-

π

6

）≤1，得出值域．

解答： 解：向量

a

=（1，cos（ωx-

π

6

）），

b

=（

3

，

3

sin（ωx-

π

6

）），其中ω为常数，且ω＞0
（1）ω=1，向量

a

=（1，cos（x-

π

6

）），

b

=（

3

，

3

sin（x-

π

6

）），
∵

a

∥

b

，
∴

3

sin（x-

π

6

）-

3

cos（x-

π

6

）=0，
∴tan（x-

π

6

）=1，
∴tanx=tan[（x-

π

6

）+

π

6

]═

1+ 3 3

1-1× 3 3

=

3+ 3

3- 3

=2+

3

．
（2）f（x）=（

a

-

b

）²-（

3

-1）²=（1-

3

）²+（cos（ωx-

π

6

）-

3

sin（ωx-

π

6

））²-（

3

-1）²=2-2sin（2ωx-

π

6

），
∵f（x）的最小正周期为π，
∴ω=1，f（x）=2-2sin（2x-

π

6

），
∵0＜x＜

π

2

，
∴-

π

6

＜2x-

π

6

＜

5π

6

，
∴-

1

2

＜sin（2x-

π

6

）≤1，
∴0≤2-2sin（2x-

π

6

）＜3，
故值域为[0，3），

点评：本题综合考查了向量，三角函数的运算性质，计算量大，属于中档题．