Question

已知数列{a_n}满足，2a₁+3a₂+…+（n+1）a_n=

1

2

n²+

1

2

n（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项式a_n；
（2）令c_n=a_n+1+

1

an+1

，证明：2n＜c₁+c₂+…+c_n＜2n+

1

2

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）利用作差法即可求数列{a_n}的通项式a_n；
（2）求出c_n=a_n+1+

1

an+1

的通项公式，求出数列的前n项和，即可得到结论．

解答： 解：（1）∵2a₁+3a₂+…+（n+1）a_n=

1

2

n²+

1

2

n（n∈N^*），
∴2a₁+3a₂+…+na_n-1=

1

2

（n-1）²+

1

2

（n-1），（n≥2），
则两式相减，
（n+1）a_n=n，即a_n=

n

n+1

，
当n=1时，2a₁=

1

2

+

1

2

=1，则a₁=

1

2

，满足a_n，
则数列{a_n}的通项式a_n=

n

n+1

．
（2）c_n=a_n+1+

1

an+1

=

n+1

n+2

+

n+2

n+1

=2+

1

n+1

-

1

n+2

，
则c₁+c₂+…+c_n=2n+（

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

=2n+

1

2

-

1

n+2

，
则不等式2n＜c₁+c₂+…+c_n＜2n+

1

2

成立．

点评：本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，考查学生的运算能力．