Question

（1）已知a+b+c=1，a，b，c∈（0，+∞），求证：alog₃a+blog₃b+clog₃c≥-1；
（2）已知a₁+a₂+…+a 3n=1，a_i＞0（i=1，2，3，…，3ⁿ），求证：a₁log₃a₁+a₂log₃a₂+a₃log₃a₃+…+a 3nlog₃a 3n≥-n．

Answer 1

考点：不等式的证明,对数的运算性质

专题：推理和证明

分析：（1）构造函数f（x）=xlog₃x，利用导数可得f″（x）=

1

xln3

＞0，满足琴声不等式的条件，利用琴声不等式即可证得结论成立；
（2）利用琴声不等式及对数的运算性质可证得结论成立．

解答： 证明：（1）令f（x）=xlog₃x，
则f′（x）=log₃x+x•

1

xln3

=log₃x+

1

ln3

，
f″（x）=

1

xln3

＞0，
由于a+b+c=1，a，b，c∈（0，+∞），
由琴声不等式（琴生不等式以丹麦数学家约翰•琴生（Johan Jensen）命名，也称为詹森不等式）
得：

alog3a+blog3b+clog3c

3

≥f（

a+b+c

3

），
即alog₃a+blog₃b+clog₃c≥3f（

a+b+c

3

）=3×（

a+b+c

3

log3

a+b+c

3

）=3×

1

3

log3

1

3

=-1；
（2）因为a₁+a₂+…+a 3n=1，a_i＞0（i=1，2，3，…，3ⁿ），
所以，由琴声不等式得：a₁log₃a₁+a₂log₃a₂+a₃log₃a₃+…+a 3nlog₃a 3n≥3ⁿ（

a1+a2+…+a3n

3n

log3

a1+a2+…+a3n

3n

）=log33-n=-n．

点评：本题考查不等式的性质，着重考查琴声不等式的应用，考查对数的运算性质，属于难题．