题目内容
下列命题中，正确的是
（1）曲线y=lnx在点（1，0）处的切线方程是y=x-1；
（2）函数y=
的值域是[0，4]；
（3）已知
=(sinθ，
)，
=(1，
)，其中θ∈(π，
)，则
⊥
；
（4）O是△ABC所在平面上一定点，动点P满足：
=
+λ(
+
)，λ∈（0，+∞），则直线1过三角形的内心．
（1）曲线y=lnx在点（1，0）处的切线方程是y=x-1；
（2）函数y=
| 16-2x |
（3）已知
| a |
| 1+cosθ |
| b |
| 1-cosθ |
| 3π |
| 2 |
| a |
| b |
（4）O是△ABC所在平面上一定点，动点P满足：
| OP |
| OA |
| ||
| sinC |
| ||
| sinC |
考点：命题的真假判断与应用
专题：平面向量及应用,简易逻辑
分析：（1）直接利用导数求得切线方程判断（1）；
（2）由指数函数的值域求得无理函数的值域判断（2）；
（3）利用平面向量的数量积运算结合同角三角函数的基本关系式判断（3）；
（4）由平面向量的几何意义分析（4）．
（2）由指数函数的值域求得无理函数的值域判断（2）；
（3）利用平面向量的数量积运算结合同角三角函数的基本关系式判断（3）；
（4）由平面向量的几何意义分析（4）．
解答：
解：对于（1），由y=lnx，得y′=
，则y′|x=1=1，曲线在点（1，0）处的切线方程是y=x-1，命题正确；
对于（2），∵2x＞0，∴-2x＜0，
∴函数y=
的值域是[0，4），命题错误；
对于（3），已知
=(sinθ，
)，
=(1，
)，其中θ∈(π，
)，则
•
=sinθ+
=sinθ-sinθ=0，
∴
⊥
，命题正确；
对于（4），O是△ABC所在平面上一定点，动点P满足：
=
+λ(
+
)，λ∈（0，+∞），
则
=
+2Rλ(
+
)，
∵
，
分别表示
，
方向上的单位向量，
∴
+
的方向与∠BAC的角平分线一致，
∵
=
+2Rλ(
+
)，
∴
=2Rλ（
+
），
∴
的方向与∠BAC的角平分线一致，
则直线1一定通过三角形的内心，命题正确．
故答案为：（1）（3）（4）．
| 1 |
| x |
对于（2），∵2x＞0，∴-2x＜0，
∴函数y=
| 16-2x |
对于（3），已知
| a |
| 1+cosθ |
| b |
| 1-cosθ |
| 3π |
| 2 |
| a |
| b |
| 1-cos2θ |
∴
| a |
| b |
对于（4），O是△ABC所在平面上一定点，动点P满足：
| OP |
| OA |
| ||
| sinC |
| ||
| sinC |
则
| OP |
| OA |
| ||
|
|
| ||
|
|
∵
| ||
|
|
| ||
|
|
| AB |
| AC |
∴
| ||
|
|
| ||
|
|
∵
| OP |
| OA |
| ||
|
|
| ||
|
|
∴
| AP |
| ||
|
|
| ||
|
|
∴
| AP |
则直线1一定通过三角形的内心，命题正确．
故答案为：（1）（3）（4）．
点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了平面向量的数量积运算，训练了平面向量的应用，是中档题．
练习册系列答案
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| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、
|
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B、 |
C、 |
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