题目内容
如图，四棱锥S-ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形．AB=BC=2，CD=1，SD=| 7 |
（1）证明：CD⊥SD；
（2）求二面角B-SC-D的余弦值．
考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的性质
专题：空间位置关系与距离,空间角
分析：（1）取AB中点O，连结DO，则四边形BCDO为矩形，得到CD⊥OD，连结SO，推出SO⊥CD，即可证明CD⊥SD．
（2）距离空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面SDC的法向量，平面SBC的法向量，利用空间向量的数量积，求二面角B-SC-D的余弦值．
（2）距离空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面SDC的法向量，平面SBC的法向量，利用空间向量的数量积，求二面角B-SC-D的余弦值．
解答：
解：（1）如图取AB中点O，连结DO，则四边形BCDO为矩形，∴CD⊥OD，…．…（2分）
连结SO，则SO⊥AB，…（3分）∵AB∥CD，∴SO⊥CD…（4分）
∴CD⊥平面SOD，∴CD⊥SD…（6分）
（2）依题意，SO=
，而SD=
，DO=CB=2，故SD2=SO2+OD2，
∴SO⊥OD，
又SO⊥AB，且OD⊥AB，所以可建立如图空间直角坐标系O-xyz．…（7分）
则B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0），S(0，0，
)
所以
=(1，0，0)，
=(1，2，-
)，
=(0，2，0)
设平面SDC的法向量
=(x1，y1，z1)，
平面SBC的法向量
=(x2，y2，z2)，
∴
，即
，
令y1=
，则z1=2，于是
=(0，
，2)
又
，即
，
令x2=
，则z2=1，于是
=(
，0，1)…．…（10分）
cos＜
，
＞=
=
．…．…．（11分）
故二面角B-SC-D的余弦值为-
．…..…（12分）
解：（1）如图取AB中点O，连结DO，则四边形BCDO为矩形，∴CD⊥OD，…．…（2分）连结SO，则SO⊥AB，…（3分）∵AB∥CD，∴SO⊥CD…（4分）
∴CD⊥平面SOD，∴CD⊥SD…（6分）
（2）依题意，SO=
| 3 |
| 7 |
∴SO⊥OD，
又SO⊥AB，且OD⊥AB，所以可建立如图空间直角坐标系O-xyz．…（7分）
则B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0），S(0，0，
| 3 |
所以
| DC |
| SC |
| 3 |
| BC |
设平面SDC的法向量
| m |
平面SBC的法向量
| n |
∴
|
|
令y1=
| 3 |
| m |
| 3 |
又
|
|
令x2=
| 3 |
| n |
| 3 |
cos＜
| m |
| n |
| ||||
|
|
| ||
| 7 |
故二面角B-SC-D的余弦值为-
| ||
| 7 |
点评：本题考查直线与平面垂直的性质定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，转化思想的应用．
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已知两条不同的直线m，n，两个不同的平面α，β，在下列条件中可以得出α⊥β的是（ ）
| A、m⊥n，n∥α，n∥β |
| B、m⊥n，α∩β=n，m?α |
| C、m∥n，n⊥β，m?α |
| D、m∥n，m⊥α，n⊥β |
在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，△ABE为直角三角形且∠BAE=90°，AD⊥AE．tan（-
）=（ ）
| 17π |
| 6 |
A、
| ||||
B、-
| ||||
C、-
| ||||
D、
|
