Question

17．已知函数f（x）=x²+（a+1）x+（a+2）
（1）若f（x）能表示成一个奇函数g（x）和一个偶函数h（x）的和，求g（x）和h（x）的解析式．
（2）命题p：函数f（x）在区间[（a+1）²，+∞）上是增函数；命题q：函数g（x）是减函数．如果命题￢p，p∨q都是假命题，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由$\left\{\begin{array}{l}f（x）=g（x）+h（x）\\ f（-x）=-g（x）+h（x）\end{array}\right.$得g（x）和h（x）的解析式．
（2）要使命题?p，p∨q都是假命题，即p真q假，分别求出相应命题为真时，a的范围，即可得出结论．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}f（x）=g（x）+h（x）\\ f（-x）=-g（x）+h（x）\end{array}\right.$得，
$g（x）=\frac{f（x）-f（-x）}{2}=（a+1）x$，$h（x）=\frac{f（x）+f（-x）}{2}={x^2}+a+2$．
（2）由p真得，$-\frac{a+1}{2}≤{（a+1）^2}$，即$a≤-\frac{3}{2}$或a≥-1．
由q真得，a＜-1．
要使命题?p，p∨q都是假命题，即p真q假．
所以a∈[-1，+∞）．

点评 本题考查函数解析式的求解，考查复合命题真假的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．