Question

4．请按要求完成下列两题．
（Ⅰ）求由直线$x=-\frac{π}{3}$，$x=\frac{π}{3}$，y=0与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面积．
（Ⅱ）求由直线y=x-4，曲线$y=\sqrt{2x}$及x轴所围成的封闭图形的面积．

Answer 1

分析 利用定积分表示面积，求出其原函数，即可求出面积．

解答 解：（Ⅰ）$\int_{-\frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}{cosxdx=sinx\left|\begin{array}{l}\frac{π}{3}\\-\frac{π}{3}\end{array}\right.}$=$sin\frac{π}{3}-sin（-\frac{π}{3}）=\sqrt{3}$…（5分）
（Ⅱ）由$\left\{\begin{array}{l}y=x-4\\ y=\sqrt{2x}\end{array}\right.$得，$\sqrt{2x}=x-4$，即2x=（x-4）²，得x=4，x=2（舍）
所以两曲线的交点坐标为（8，4），直线y=x-4与x轴的交点为（4，0）…（7分）
所以$S=\int_0^4{\sqrt{2x}}dx+\int_4^8{[\sqrt{2x}-（x-4）]}$=$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}{x^{\frac{3}{2}}}\left|\begin{array}{l}4\\ 0\end{array}\right.+\frac{{2\sqrt{2}}}{3}{x^{\frac{3}{2}}}\left|\begin{array}{l}8\\ 4\end{array}\right.-\frac{1}{2}{（x-4）^2}\left|\begin{array}{l}8\\ 4\end{array}\right.$=$\frac{40}{3}$…（12分）

点评 本题考查利用定积分求面积，考查学生的计算能力，属于中档题．