Question

已知A、B、C三点在椭圆

x2

4

+y2=1上，A点坐标为（1，

3

2

），且△ABC的内切圆圆心在直线x=1上，求直线AB、AC、BC的斜率之和．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设直线BC的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合k_AB+k_AC=0可得结论；

解答： 解：设直线BC：y=kx+b，C（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
将y=kx+b代入

x2

4

+y2=1中，
化简整理得（1+4k²）x²+8kbx+4b²-4=0．
于是有x₁+x₂=-

8kb

1+4k2

，x₁x₂=

4b2-4

1+4k2

，
∵△ABC的内切圆圆心在直线x=1上，
∴直线x=1平分角A，从而有k_AB+k_AC=0，
由k_AB+k_AC=

y1- 3 2

x1-1

+

y2- 3 2

x2-1

=0，
可得（kx₁+b-

3

2

）（x₂-1）+（kx₂+b-

3

2

）（x₁-1）=0，
∵x₁+x₂=-

8kb

1+4k2

，x₁x₂=

4b2-4

1+4k2

，代入求得k=

3

6

，
∵k_AB+k_AC=0，
∴△ABC三边斜率和为0+

3

6

=

3

6

．

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，正确运用韦达定理是关键．